Классификация задач на решение линейных уравнений с параметром

Исследование решений линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

Пример 1. Выясните, имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 4х-а=4х+4 при а=-2.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим –а=4. Подставим значение а в уравнение –(-2)=4; 2=4. Получим ложное равенство. Следовательно, при а=-2 уравнение корней не имеет.

Ответ. нет корней.

Пример 2. Выясните имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 5х+а=4х+1 при а=3.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим х=1-а. подставим значение а в уравнение х=1-3; х=-2. При а =3 уравнение имеет единственный корень х=-2.

Ответ. х=-2.

Пример 3. Найдите число а такое, чтобы уравнение 5х-4=3х+а имело корень х=1.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим 2х-4=а. подставим значение х в уравнение: 2*1-4=а; а=-2.

Ответ. а=-2.

1.2 Поиск решения линейных уравнений с параметром

Пример 1. Решить уравнение ах=1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

х=. Однако при а=0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ. если а=0, то нет решений; если а≠0, то х=.

Пример 2. Решить уравнение (а-2)х=10-5х относительно х.

Решение. (а-2)х+5х=10.

х(а+3)=10.

Если а=-3, то х*0=10- неверное равенство.

Если а≠-3, то х=.

Ответ. если а=-3, решений нет; если а≠-3, то х=.

Пример 3. Решить уравнение (а2-1)х=а+1.

Решение. 1) а=1, уравнение не имеет решений;

2) а=-1, хR;

3) а≠1, х=.

Ответ. если а=-1,то х- любое; если а=1, то нет решений; если а≠1, то х=.

Пример 4. Решить уравнение ах+а+3=2а+5.

Решение. Решение этого уравнения требует вначале преобразований: ах=2а+5-а-3. ах=а+2. Если а=0, то 0=2 не верно. Следовательно, уравнение не имеет корней. Если а≠0, то х=.

Ответ. если а=0, то решений нет; если а≠0, то х=.

Пример 5. Решить уравнение 3х-4(х-а)=4+а.

Решение. 3х-4х+4а=4+а.

-х=-4а+4+а.

-х=-3а+4|*(-1).

х=3а-4.

аR.

Ответ. аR, х=3а-4.

Пример 6. При каждом значении а решите уравнение а(х-2)=4(х+2).

Решение. ах-2а=4х+8.

х(а-4)=2а+8.

Если а=4, то х*0=16, корней нет.

Если а≠4, то х=.

Ответ. Если а=4, то корней нет; если а≠4, то х=.

Пример 7. При каждом значении а решите уравнение а2х-7=7а+х.

Решение. х(а2-1)=7+7а.

Если а=1, то х*0=14, то есть корней нет.

Если а=-1, то х*0=0, то есть хR.

Если а≠, то х=.

Ответ. Если а=1, то корней нет; если а=-1, то хR; если а≠1, то х=.

Пример 8. Решить уравнение а2х=а(х+2)-2.

Решение. а(а-1)х=2(а-1).