Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами

Как уже было отмечено, у учащихся возникают трудности на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. С целью её преодоления используется прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости. Рассмотрим суть данного приема на конкретных задачах.

Пример 1. При каждом значении а и b решите уравнение:

Паре чисел (а; b) соответствует вполне определенное частное уравнение. Упорядоченную пару чисел (а; b) мы будем интегрировать как точку на координатной плоскости с осями а и b. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и всеми частными уравнениями, определенными парой (а; b). Следовательно, получили аналог развертки по параметру – плоскость параметров, позволяющую наглядно представить множество значений параметров и соответствующие им решения уравнения.

При b=±a правая часть уравнения не имеет смысла, следовательно, уравнение не имеет решений.

Отметим на плоскости параметров те ее точки, координаты (а;b) которых не являются допустимыми значениями параметров данного уравнения. То есть всем точкам прямых b=±a соответствуют частные уравнения, не имеющие решений.

Примечание: в скобках будем указывать решения, соответствующие данным точкам плоскости.

b

b=-a b=a

(решений нет) (решений нет)

0 a

При условии x≠0 и b≠±a исходное уравнение равносильно уравнению .

Если b=0, a- любое число, отличное от нуля, то всем точкам прямой b=0 (а≠0) соответствуют частные уравнения вида 0х=0, решениями которых являются все действительные числа, отличные от нуля.

b

b=-a b=a

(решений нет) (решений нет)

b=0, a≠0

(

0 a

a≠±b, b≠0 (x=a2-b2)

Если b≠0 и a≠±b, то x=a2-b2. Таким образом, если точка с координатами (a;b) не лежит на прямых b≠±a и b=0, то частные уравнения вычисляются по формуле x=a2-b2.

При записи ответа результаты исследования считываются с плоскости параметров.

Ответ. 1.

2.b=0, a≠0,

3..

Пример 2. При каждом значении m и n решите уравнение

Найдем области допустимых значений переменной и области допустимых значений параметров: отметим последние на плоскости параметров.

m

2 m=2 (решений нет)

0 n=0 (решений нет) n

При найденных ограничениях на переменную и параметры уравнение равносильно уравнению .

Если , то есть всем точкам прямой , за исключением точки (0;2), соответствуют частные уравнения вида .