Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни

Решение. рассматриваемое квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант его положительный. Запишем это условие: . Из последнего неравенства получим , откуда b>1.

Ответ. b>1.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.

Решение. Выпишем условие положительности дискриминанта данного квадратного трехчлена.

. При p=0 единственное решение.

Ответ. .

Пример 7. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.

Решение. Пусть p=0. Тогда исходное уравнение принимает вид x+2=0 и имеет единственное решение x=-2.

Пусть теперь p≠0. В этом случае исходное уравнение имеет одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D=1-8p=0, откуда .

Ответ. }.

Пример 8. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет одно решение.

Решение. Исходное уравнение имеет одно решение при D≥0, при этом, если D=0, то уравнение имеет ровно одно решение, а при D>0 – два решения (а если есть два решения, то есть и одно). Решая неравенство .

Ответ. .

Пример 9. При каких a уравнение имеет единственное решение ?

Решение. Понятно, что нужно начинать со случая a=2. Но при a=2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a≠2, то данное уравнение квадратное, и казалось бы, искомые значения параметра – это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a=2 или a=5. Поскольку мы установили, что a=2 не подходит, то a=5.

Ответ. a=5.

Пример 10. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. При a=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a≠0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант – положителен. Отсюда получаем -4<a<1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ. -4<a<0 или 0<a<1.

Пример 11. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг начать со случаев a=0 и a=-3. При a=0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a=-3 решением уравнения служит любое действительное число. При a≠-3 и a≠0, разделив обе части данного уравнения на a+3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого 4(1+3a) положителен при . Опыт предыдущих промежутков показывает, что из промежутка (; надо исключить точку a=0, а в ответ не забыть включить a=-3.

Ответ. a=-3 или <a<0, или a>0.