Типы квадратных уравнений с параметрами

Решение. Прежде всего, если a2-3a+2<0, 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков.(Дискриминант при этом «автоматически» положителен). В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициента при х- второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было х1 >0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств

Отсюда а>5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ. Если а<1 или 2<а<2,5 , то х1<0, х2<0; если а=1 или а=2,то х1<0, х2=0; если 1<а<2, то х1<0, х2>0; если а=2,5 ,то х1=х2<0; если 2,5<а<5, то корней нет; если а=5, то х1=х2>0; если а>5, то х1>0, х2>0.

Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи. Поэтому существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа- это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Задачи третьего типа. Расположение корней квадратного трёхчлена.

Выделим прежде всего два наиболее распространённых вида задач, связанных с расположением корней квадратного трёхчлена.

1 вид. Задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны 3 случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме, рассмотренной выше,- определению знаков корней квадратного трёхчлена. Это делается при помощи замены t= x-A, x= t+A,в результате которой трёхчлен относительно x переходит в трёхчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трёхчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трёхчлена относительно А. можно и не делать замены.

Пример 1. При каком значении параметра а один корень уравнения х2-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции у = х2-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось Х, причём отрезок должен содержать внутри себя точку 1.

Следовательно, значение квадратного трёхчлена х2-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того. Чтобы выполнялись неравенства х1<1<х2.

Ответ. а>-2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(x)=ax2+bx+c=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства а*f(A)<0. Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.

Пример 2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 больше 1?

Решение. Для того чтобы оба корня уравнения f(x)= ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 были больше 1, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)D>0;

2)а*f(1)>0;

3)хв=