Типы квадратных уравнений с параметрами

Пример 3. Определить, как расположены корни уравнения ах2-(а3+1)х+а2=0 относительно отрезка.

Решение. В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при а≠0) имеет корни: х1=а2 и х2=. теперь закончить решение не составляет труда.

При решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

4.Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов.

1)Найти все значения параметра а, при которых уравнения х2-(2а-1)х+а=0 и (а+1)х2-ах-1=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения f1(x)=0 и f2(x)=0 имеют общий корень х0, то при любых k1 и k2 уравнение k1 f1(x)+ k2 f2(x)=0 имеет тот же корень х0.

Возьмем сначала k1 и k2 так, чтобы в комбинации исчез свободный член: k1=1, k2=а. получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что х0≠0, линейное уравнение (а2+а+1)х-(а2+2а-1)=0.

Затем выберем k1 и k2 так, чтобы исчез член с х2: k1=a+1, k2=-1. Получим второе линейное уравнение (2а2-1)х-(а2+а+1)=0.

Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение (а2+а+1)2=(а2+2а-1)(2а2-1).

Далее получаем а4+2а3-6а2-4а=0. Левая часть разлагается на множители:

а(а3+2а2-6а-4)=а(а3-2а2+4а2-8а+2а-4)=а((а-2)а2+(а-2)4а+2(а-2))=а(а-2)(а2+4а+1).

Ответ. а1=0, а2=2, а3=-2-, а4=-2+.

Для каждого из найденных значений а необходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения. (достаточно проверить существование одного из них).

Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.

2)Расположить корни уравнений х2++2а=0 и х2+-а=0 в порядке возрастания.

Решение. Обозначим f(x)= х2++2а, g(x)= х2+-а, y1 и y2- корни уравнения f(x)=0; z1 и z2- корни уравнения g(x)=0.

По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие не отрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства:- ≤а<0, 0<а≤.

Найдем значения х, при которых f(x)= g(x): х=. Уравнения имеют общий корень, если f()= g()=0, откуда а=-3.

Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на два интервала.

- -3 0 а

Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.

1)- <а<-3. Имеем f()= g()=а(а3+27)>0. С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответствует f(x), а какая g(x), возможны два случая.