Общая классификация задач по их типу

Так как уравнения с параметрами не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий, определим их общую структуру и выделим основные их типы. Их общий вид определяется многочленом F(a;x)=f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а или многочленом F(a;b;x)=f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b) с параметрами а и b не выше второй степени. эксцельза роза

Отметим, что наиболее важными в практике являются следующие задачи:

1)Решить уравнение (неравенство) с параметрами;

2)Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения (неравенства) обладает некоторыми свойствами.

В уравнении f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 не выше второй степени с параметром а и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из следующих типов:

;

2);

;

;

;

;

Контрольные значения параметра определяются уравнением f(a)=0 и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1)На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2)На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводится к виду f(a)x2+g(a)x+h(a)=0.

3)Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых f(a)=0.

Если уравнение f(a)=0 имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения f(a)=0 проводится решение уравнения g(a)=0, выделяются типы и особых частных уравнений. Множеству {a\f(a)=0,g(a)0} соответствует тип 3) не особых частных уравнений.

4)Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант D=g(a)2-4f(a)h(a) обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень x=-.

5)Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта D.

Множеству {a\f(a)0,D<0} соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений,, для значений параметра {a\f(a)0,D>0} частные уравнения имеют два различных действительных корня.

Пример 1. Решить уравнение х2-х+1=.

Решение. В уравнении значение а=0 является контрольным, для него соответствующее частное уравнение не определено. На множестве {a\a≠0} исходное уравнение равносильно (а+6)х2-(а+3)х+1=0.

f(a)=а+6 обращается в нуль для а=-6. Соответствующее частное уравнение 3х+1=0 имеет единственное решение х=-.

На множестве {a\a≠-6;0} частные уравнения являются квадратными с дискриминантом D=а2+2а-15. Дискриминант D=0 для а=-5 и а=3. Пусть а=-5, соответствующее частное уравнение х2+2х+1=0 имеет двукратный корень х=-1. Для а=3 соответствующее частное уравнение 9х2-6х+1=0 имеет двукратный корень х=.

На числовой прямой отметим найденные значения параметра и на каждом из полученных промежутков установим знак дискриминанта D.