Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

Парабола f(t) = t2−8t+7−a имеет вершину в точке tв = 4, ветви направлены вверх, корни расположены симметрично относительно вершины, поэтому условию t > 7 может удовлетворять только больший корень, которому и будет соответствовать единственное решение уравнения. Необходимым и достаточным условием того, чтобы больший корень был больше 7 является неравенство f(7) < 0

или 49 − 56 + 7 − a < 0, откуда a > 0.

Ответ: a ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞).

Задачи для самостоятельного решения

1. В зависимости от значений параметра a решите уравнения.

а) 4x − (2a + 1) 2x + a2 + a = 0.

б) 9lg(x−a)−lg 2 = 3lg(x−1)

в)

г)

2. При каких допустимых значениях параметра a уравнение имеет решение?

3. При каких значениях параметра a уравнениеимеет по крайней мере два корня, один из которых неположителен, а другой не меньше двух.

4. При каких значениях параметра a уравнение log3 x+(a2−4)·log3x −3 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?

5. При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня, расстояние между которыми меньше ?

6. При каких значениях параметра a сумма и равна единице ни при каких значениях x?

7. При каких значениях параметра a сумма и будет меньше единицы при всех допустимых значениях x?

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе же это один из наиболее трудных разделов школьного курса математики. Задачи с параметром являются наиболее сложными задачами ЕГЭ, поэтому познакомиться с некоторыми идеями их решения, освоить способы решения задач с параметром желательно как можно раньше.

Очень важно подготовить учащихся к преодолению трудностей, связанных с решением задач с параметрами. К сожалению, в школьном курсе не уделяется достаточно времени и внимания на изучение данного раздела. Поэтому возникает необходимость создания курса для ознакомления с основными видами уравнений, содержащих параметры.

Материал рассчитан на 9 класс с дальнейшим продолжением в 10 и 11 классах. В ходе учебно-познавательной деятельности учащимся будут предложены контрольные работы и тренировочные упражнения в конце каждого раздела, что позволит определить качество усвоения материала и уровень подготовки к экзаменам.

Курс рассчитан на 20 часов для 9 класса. Он включает в себя знакомство с самим понятием параметра и с системой упражнений, предназначенных для отработки навыков решения задач с параметрами, для самостоятельного решения типовых задач, для подготовки учащихся к итоговой аттестации. По инициативе учителя курс может быть продолжен решением неравенств с параметрами, а также решением систем уравнений и неравенств с параметром.

Цель курса: развить представления о параметре, выделять параметр из текста задачи; научить решать задачи в общем виде, выделять частные случаи решения задач из общего решения; научить оформлять решение задачи с параметром; изучить различные виды задач и способы их решения; развить пространственные представления, логическое мышление и речь; сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.