Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества

Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=, LM=, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий , и рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c.

Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:

, , , .

В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:

, .

Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике: