Задачи на использование теоремы Виета

Решение. Уравнение квадратное относительно , следовательно, оно равносильно совокупности двух уравнений: и . Отсюда получим два множества корней: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение относительно a.

Решение. Приведем уравнение к виду .

При получим: или .

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: имеющему множество решений , и , равносильному уравнению , имеющему множество корней .

При получим уравнение равносильное исходному: , имеющее два решения относительно tg(0,5x): , при , то есть при |a|≤1.

Итак, при уравнение имеет два множества корней: и ; при -1≤a≤1 ( ; при |a|>1 решений нет.

Ответ: при и ; при -1≤a≤1 ( ; при |a|>1 решений нет.

Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

log1−a (2 − cos x + sin )= 2 имеет решение.

Решение. Область допустимых значений параметра определяется системой

, откуда a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 1).

По свойствам логарифмической функции перепишем уравнение в виде 2 − cos x + sin = (1 − a)2.

Заменяя cos x = 1 − 2 sin2 и полагая t = sin , получаем квадратное уравнение: 2t2 + t + 2a − a2 = 0.

Это уравнение имеет решения, если D = 8a2−16a+1 0, откуда с учетом ОДЗ получаем

a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 1 −].

Найдем теперь, при каких значениях параметра a хотя бы один из корней этого уравнения будет принадлежать отрезку [−1; 1]. Так как ветви параболы f(t) = 2t2 + t + 2a − a2 направлены вверх, вершина находится в точке tв =−, то корни располагаются симметрично относительно точки t=−. Поэтому, если меньший корень лежит в промежутке [−1; 1], то больший — тем более. Таким образом, достаточно выяснить, при каких значениях параметра a больший корень параболы окажется в промежутке []. Это будет в том и только в том случае, если f(1)0. Вычисляя f(1),